多元函数积分考研？
1. 定积分在坐标系下的应用基本原理： 极坐标变换成直角坐标，然后利用直角坐标下微分运算和积分运算的法则进行计算即可； 极坐标积分公式： \int\limits_{0}^{2}\pi r^2ds=\int\limits_{-2}^2(x^2+y^2)dxdy \\ \int\limits_0^{2\pi}(r\cos(\theta))^3d\theta\\ 其中第1个式子中r的平方可以看作被积函数(对积分区间求导可得半径)，s是变量代替角度 的，第2个数中被积函数r\cdot cos(\theta)$需要先化简为(r\cdot sin(\theta))cos(\theta)$然后再乘以$sin(\theta)^3$，最后求解结果如下： \left[{\frac{4}{5}}\pi x^5+{\frac{8}{7}}\pi y^5-C\right]|_{-2}^{2}
=\left[{\frac{16}{35}}\pi (2)^5+{\frac{16}{35}}π \left(-2\right)^5-C\right]\\ \approx {39.018}
下面开始解答你的第一个问题。首先给出答案：
\left[{\frac{1}{12}}\pi R^4-R^2l-{\frac{2}{3}}\pi h^3+C\right]|_{-2}% ^2 = {\frac{1}{12}}\times {4^4}-\left({-2}\right)^2\times l-{\frac{2}{3}}×h^3\\ = {\frac{32}{3}}-4l-{\frac{8}{3}}h^3 注意这里只给出了答案的下标，即从哪一个点（比如点-2，2）到哪个点（比如-2，2） 接下来我们开始求解过程： 第1步由条件可知，路径L是由一个圆弧和一个直线段组成，因此只需要分别算出它们的定积分并相加即可； 第2步分别求取圆弧和直线的定积分； 第3~6步将已知圆周方程代入即可得到关于l、h的两个等式； 第7~10步骤根据第3~6步的结果列出关于l、h的二元一次方程组，联立求得l，h; 最后一步就是求解第1步给出的定积分了；